Continuité - Spécialité
Suite définie par une relation de récurrence - théorème du point fixe
Exercice 1 : Limite d'une suite définie par une fonction continue
On considère la suite \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 20 \) et par la relation de récurrence suivante :
où \( f \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{8\right\} \) par \( f(x) = -12 + \dfrac{441}{-32 + 4x} \).
On admet que \( (u_n) \) converge et on note \( l \) sa limite. On admet que la fonction \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{8\right\} \).
À l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de \( l \).On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.
On donnera l'équation simplifiée, d'inconnue \( x \), sous la forme \( g(x) = 0 \) où \( g \) est une fonction à préciser.
On donnera la réponse sous forme d'une fraction simplifiée ou d'un entier, sans préciser de quoi il s'agit.
Exercice 2 : Limite d'une suite définie par une fonction continue
On considère la suite \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 0,1 \) et par la relation de récurrence suivante :
où \( f \) est la fonction définie sur \( \left]\dfrac{-1}{2}; \dfrac{1}{2}\right[ \) par \( f(x) = - \dfrac{69}{400} + x^{2} \).
On admet que \( (u_n) \) converge et on note \( l \) sa limite. On admet que la fonction \( f \) est continue sur \( \left]\dfrac{-1}{2}; \dfrac{1}{2}\right[ \).
À l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de \( l \).On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.
On donnera l'équation simplifiée, d'inconnue \( x \), sous la forme \( g(x) = 0 \) où \( g \) est une fonction à préciser.
On donnera la réponse sous forme d'une fraction simplifiée ou d'un entier, sans préciser de quoi il s'agit.
Exercice 3 : Limite d'une suite définie par une fonction continue
On considère la suite \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 2 \) et par la relation de récurrence suivante :
où \( f \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -7 + 0,9x \).
On admet que \( (u_n) \) converge et on note \( l \) sa limite. On admet que la fonction \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
À l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de \( l \).On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.
On donnera l'équation simplifiée, d'inconnue \( x \), sous la forme \( g(x) = 0 \) où \( g \) est une fonction à préciser.
On donnera la réponse sous forme d'une fraction simplifiée ou d'un entier, sans préciser de quoi il s'agit.
Exercice 4 : Limite d'une suite définie par une fonction continue
On considère la suite \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 28 \) et par la relation de récurrence suivante :
où \( f \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{9\right\} \) par \( f(x) = 2 + \dfrac{144}{-9 + x} \).
On admet que \( (u_n) \) converge et on note \( l \) sa limite. On admet que la fonction \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{9\right\} \).
À l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de \( l \).On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.
On donnera l'équation simplifiée, d'inconnue \( x \), sous la forme \( g(x) = 0 \) où \( g \) est une fonction à préciser.
On donnera la réponse sous forme d'une fraction simplifiée ou d'un entier, sans préciser de quoi il s'agit.
Exercice 5 : Limite d'une suite définie par une fonction continue
On considère la suite \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 18 \) et par la relation de récurrence suivante :
où \( f \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{6\right\} \) par \( f(x) = -3 + \dfrac{36}{-6 + x} \).
On admet que \( (u_n) \) converge et on note \( l \) sa limite. On admet que la fonction \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{6\right\} \).
À l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de \( l \).On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.
On donnera l'équation simplifiée, d'inconnue \( x \), sous la forme \( g(x) = 0 \) où \( g \) est une fonction à préciser.
On donnera la réponse sous forme d'une fraction simplifiée ou d'un entier, sans préciser de quoi il s'agit.